Expected Shortfall (ES)
Tổn thất kỳ vọng vượt ngưỡng
Expected shortfall (ES, tổn thất kỳ vọng vượt ngưỡng), còn gọi là conditional VaR (CVaR), là mức tổn thất trung bình trong những trường hợp tổn thất vượt quá VaR ở cùng độ tin cậy. Nếu VaR trả lời "lỗ tệ đến mức nào trong điều kiện bình thường", thì ES trả lời "khi đã vượt ngưỡng đó thì trung bình lỗ bao nhiêu". Khung Basel FRTB dùng ES 97,5% thay cho VaR 99% để tính vốn rủi ro thị trường.
Explanation
ES ra đời để khắc phục điểm yếu lớn nhất của value at risk (VaR): VaR bỏ qua hình dạng đuôi phân phối. Hai danh mục có cùng VaR 95% bằng 5 tỷ đồng, nhưng danh mục bán quyền chọn có thể lỗ 15 tỷ đồng trong 5% ngày xấu nhất, còn danh mục cổ phiếu đa dạng hoá chỉ lỗ khoảng 6 tỷ đồng. VaR coi hai danh mục như nhau, ES phân biệt rõ.
Về lý thuyết, ES là coherent risk measure (thước đo rủi ro nhất quán): nó luôn subadditive, nghĩa là ES của danh mục gộp không bao giờ lớn hơn tổng ES từng phần, đúng với trực giác rằng đa dạng hoá không làm tăng rủi ro. VaR không luôn có tính chất này. Đổi lại, ES khó backtesting hơn VaR vì phải kiểm định cả độ lớn tổn thất ở đuôi, nơi dữ liệu rất ít.
Cách tính theo mô phỏng lịch sử rất trực quan: sắp xếp các tổn thất từ lớn đến nhỏ, lấy trung bình những tổn thất trong phần đuôi (ví dụ 5% số quan sát xấu nhất với độ tin cậy 95%). Với phân phối chuẩn, ES có công thức đóng: ES = σ × φ(z) / (1 - α) với φ là hàm mật độ chuẩn. Đáng chú ý, ES 97,5% của phân phối chuẩn xấp xỉ 2,338σ, gần bằng VaR 99% (2,326σ), nên Basel chọn 97,5% để mức vốn tương đương trong điều kiện bình thường nhưng nhạy hơn nhiều với đuôi dày.
ES luôn lớn hơn hoặc bằng VaR ở cùng độ tin cậy. Tỷ số ES / VaR càng cao thì đuôi phân phối càng dày, một tín hiệu rủi ro đáng theo dõi. Với nhà đầu tư cá nhân và doanh nghiệp, ý tưởng của ES rất hữu ích ngay cả khi không tính chính xác: luôn hỏi "nếu kịch bản xấu xảy ra thật thì trung bình mất bao nhiêu".
Key Points
- ES = trung bình các tổn thất vượt VaR ở cùng độ tin cậy.
- ES ≥ VaR, tỷ số ES / VaR cao báo hiệu đuôi dày.
- ES là thước đo nhất quán (subadditive), VaR thì không luôn như vậy.
- Basel FRTB dùng ES 97,5% cho vốn rủi ro thị trường.
- Khó backtesting hơn VaR vì dữ liệu đuôi ít.
Formula
ES_α = E[L | L ≥ VaR_α]; phân phối chuẩn (μ = 0): ES_α = σ × φ(z_α) / (1 - α) × V
- L
- Tổn thất của danh mục trong kỳ nắm giữ.
- α
- Độ tin cậy, ví dụ 97,5%.
- z_α
- Phân vị chuẩn tương ứng với α (1,96 với 97,5%).
- φ(z_α)
- Mật độ phân phối chuẩn tại z_α (φ(1,96) ≈ 0,0584).
- σ, V
- Độ lệch chuẩn lợi suất trong kỳ và giá trị danh mục.
Theo mô phỏng lịch sử: ES = trung bình các tổn thất nằm trong (1 - α) số quan sát xấu nhất.
Examples
Worked Example
Tính VaR và ES 95% bằng mô phỏng lịch sử
Công ty CP Chứng khoán Bảo Minh (số liệu giả định) có 100 ngày dữ liệu lãi lỗ của danh mục tự doanh. Năm ngày lỗ nặng nhất là 12, 9, 8, 6 và 5 tỷ đồng, ngày lỗ nặng thứ sáu là 4,5 tỷ đồng.
- Với độ tin cậy 95%, phần đuôi gồm 5% × 100 = 5 ngày xấu nhất.
- VaR 95% ≈ 4,5 tỷ đồng, ngưỡng mà chỉ 5 ngày trong 100 ngày lỗ vượt qua.
- ES 95% = (12 + 9 + 8 + 6 + 5) / 5 = 40 / 5 = 8 tỷ đồng.
- Tỷ số ES / VaR = 8 / 4,5 ≈ 1,78.
Khi đã vượt ngưỡng VaR, danh mục lỗ trung bình 8 tỷ đồng, gần gấp đôi VaR. Với phân phối chuẩn tỷ số này ở độ tin cậy 95% chỉ khoảng 1,25 (2,063 / 1,645), nên danh mục có đuôi dày và cần xem lại các vị thế gây ra những ngày lỗ lớn nhất.
Real-World Scenario
Ủy ban đầu tư so sánh hai chiến lược
Chị Hà, giám đốc rủi ro của một công ty quản lý quỹ, nhận hai đề xuất chiến lược có cùng lợi nhuận kỳ vọng và cùng VaR 95% 1 tháng bằng 4% NAV. Chiến lược thứ nhất đầu tư cổ phiếu đa dạng hoá, chiến lược thứ hai bán quyền chọn để thu phí.
Chị tính ES: chiến lược cổ phiếu khoảng 5,5% NAV, chiến lược bán quyền chọn khoảng 12% NAV vì lỗ rất lớn khi thị trường giảm mạnh. Ủy ban chọn đặt hạn mức theo ES thay vì VaR, và chiến lược bán quyền chọn chỉ được duyệt với quy mô nhỏ.
Exam Practice
Câu hỏi kiểu FRM về ES của phân phối chuẩn
Danh mục 100 tỷ đồng, độ lệch chuẩn lợi suất ngày 2%, lợi suất kỳ vọng bằng 0, phân phối chuẩn. So sánh ES 97,5% với VaR 99% 1 ngày. Cho φ(1,96) ≈ 0,0584.
- ES 97,5% = 2% × 0,0584 / 0,025 × 100 = 2,336 × 2 ≈ 4,67 tỷ đồng.
- VaR 99% = 2,326 × 2% × 100 ≈ 4,65 tỷ đồng.
Hai con số gần bằng nhau, đó là lý do Basel FRTB chọn ES 97,5% để thay VaR 99%. Bẫy thường gặp là chia cho 0,975 thay vì 0,025, hoặc lấy z × σ (chính là VaR) làm ES.
Common Mistakes
Common Mistake
Dùng ES như mức lỗ tối đa
Sau khi chuyển từ VaR sang ES, một nhà quản lý quỹ tuyên bố: "ES 97,5% là 10 tỷ đồng, vậy quỹ sẽ không bao giờ lỗ quá 10 tỷ đồng."
ES là trung bình của phần đuôi, nên một số ngày trong phần đuôi chắc chắn lỗ nhiều hơn 10 tỷ đồng. ES cũng dựa trên dữ liệu và mô hình quá khứ. Cách đúng: dùng ES cùng stress testing với các kịch bản chưa từng xảy ra để đánh giá tổn thất cực đoan.
- Nhầm ES với VaR hoặc coi ES là tổn thất tối đa.
- Chia mật độ φ(z) cho α thay vì cho (1 - α) khi tính ES tham số.
- So sánh ES và VaR ở hai độ tin cậy khác nhau mà không nêu rõ.
- Cho rằng ES đã đủ thay thế stress testing.
Exam Tip
FRM Part I (Valuation and Risk Models) hỏi định nghĩa ES, tính chất coherent và cách tính từ dữ liệu lịch sử. FRM Part II (Market Risk) hỏi lý do Basel FRTB chuyển sang ES 97,5% và khó khăn khi backtesting ES.