Convexity
Độ lồi
Convexity (độ lồi) đo mức cong của đường quan hệ giữa giá và lợi suất trái phiếu, tức mức duration tự thay đổi khi lợi suất thay đổi. Convexity dương làm giá tăng nhiều hơn khi lợi suất giảm và giảm ít hơn khi lợi suất tăng, so với ước tính chỉ bằng duration. Nó là thành phần bậc hai bổ sung cho duration khi lợi suất biến động lớn.
Explanation
Duration coi quan hệ giá và lợi suất là đường thẳng tiếp tuyến tại mức lợi suất hiện tại, nhưng thực tế đó là đường cong lồi. Khi lợi suất thay đổi nhỏ, sai số không đáng kể; khi lợi suất đổi 1 đến 2 điểm phần trăm, sai số đủ lớn để ảnh hưởng đến báo cáo rủi ro và quyết định phòng ngừa. Convexity đo độ cong đó và dùng để hiệu chỉnh ước tính.
Trái phiếu thông thường không có quyền chọn luôn có convexity dương. Convexity tăng khi kỳ hạn dài hơn, coupon thấp hơn, lợi suất thấp hơn và dòng tiền phân tán hơn. Với cùng duration, danh mục barbell (kết hợp trái phiếu rất ngắn và rất dài) có convexity cao hơn danh mục bullet (tập trung một kỳ hạn).
Trái phiếu callable và chứng khoán đảm bảo bằng khoản vay thế chấp có thể có negative convexity (độ lồi âm) khi lãi suất giảm: giá bị chặn trên vì tổ chức phát hành sẽ mua lại hoặc người vay trả nợ trước, nên mức tăng giá nhỏ hơn mức giảm giá. Nhà đầu tư được bù bằng lợi suất cao hơn.
Convexity không phải "lợi nhuận miễn phí". Thị trường định giá convexity: trái phiếu có convexity cao thường có lợi suất thấp hơn. Lợi ích chỉ hiện thực khi lãi suất biến động đủ mạnh; nếu lãi suất đi ngang, nhà đầu tư chỉ nhận lợi suất thấp hơn.
Key Points
- %ΔP ≈ -MD × Δy + ½ × Convexity × (Δy)^2.
- Convexity dương luôn cộng thêm vào giá, dù lợi suất tăng hay giảm.
- Kỳ hạn dài, coupon thấp, lợi suất thấp làm convexity cao hơn.
- Trái phiếu callable có thể có negative convexity khi lãi suất giảm.
- Convexity cao thường đi kèm lợi suất thấp hơn.
Formula
Approx convexity = (P- + P+ - 2 × P0) / (P0 × Δy^2); %ΔP ≈ -MD × Δy + ½ × Convexity × Δy^2
- P0
- Giá trái phiếu ở lợi suất hiện tại.
- P-, P+
- Giá khi lợi suất giảm và tăng một lượng Δy (định giá lại bằng công thức chiết khấu).
- Δy
- Mức thay đổi lợi suất dùng để tính, dạng thập phân (1% = 0,01).
- MD
- Modified duration (hoặc effective duration = (P- - P+) / (2 × P0 × Δy)).
Examples
Worked Example
Hiệu chỉnh convexity khi lợi suất đổi 200 bps
Trái phiếu Công ty CP Viễn thông Trường Sơn (số liệu giả định): mệnh giá 100.000 đồng, coupon 8%, còn 5 năm, YTM 8%, giá 100.000. Định giá lại: tại 7% giá 104.100,20; tại 9% giá 96.110,35.
- Duration xấp xỉ = (104.100,20 - 96.110,35) / (2 × 100.000 × 0,01) = 7.989,85 / 2.000 ≈ 3,99.
- Convexity xấp xỉ = (104.100,20 + 96.110,35 - 200.000) / (100.000 × 0,0001) = 210,55 / 10 ≈ 21,05.
- Lợi suất +200 bps: -3,99 × 0,02 + ½ × 21,05 × 0,0004 = -7,98% + 0,42% = -7,56% (định giá lại chính xác: -7,58%).
- Lợi suất -200 bps: +7,98% + 0,42% = +8,40% (định giá lại chính xác: +8,42%).
Chỉ dùng duration sẽ ước tính ±7,98%, lệch khoảng 0,4 điểm phần trăm so với thực tế. Thêm convexity đưa sai số xuống dưới 0,03 điểm phần trăm và cho thấy giá tăng nhiều hơn mức giảm.
Real-World Scenario
Chọn barbell hay bullet
Anh Tùng, quản lý quỹ trái phiếu (giả định), cần danh mục duration 5 năm. Phương án bullet: toàn bộ trái phiếu 5 năm. Phương án barbell: một nửa trái phiếu 1 năm, một nửa trái phiếu 10 năm, cùng duration 5 nhưng convexity cao hơn và lợi suất thấp hơn khoảng 0,15%.
Nếu anh dự báo lãi suất sẽ biến động mạnh, barbell có lợi vì convexity cao giúp lời nhiều hơn, lỗ ít hơn. Nếu lãi suất đi ngang, bullet thắng nhờ lợi suất cao hơn. Anh chọn tỷ lệ dựa trên dự báo biến động, không chỉ vì "convexity cao là tốt".
Common Mistakes
Common Mistake
Bỏ qua negative convexity của trái phiếu callable
Một nhà đầu tư mua trái phiếu callable coupon 10%, giá mua lại (call price) 101.000 đồng, với kỳ vọng lãi suất giảm 2 điểm phần trăm sẽ giúp giá tăng khoảng 8% như trái phiếu thông thường cùng duration.
Khi lãi suất giảm, tổ chức phát hành có động lực mua lại ở giá 101.000 đồng, nên giá thị trường bị chặn quanh mức đó: mức tăng thực tế chỉ khoảng 1% đến 3%. Đây là negative convexity; nhà đầu tư phải dùng effective duration và effective convexity từ mô hình có tính quyền chọn.
- Quên hệ số ½ khi cộng điều chỉnh convexity.
- Đổi dấu phần convexity khi lợi suất tăng, trong khi convexity dương luôn cộng thêm.
- Cho rằng convexity cao luôn tốt mà quên nó thường đi kèm lợi suất thấp hơn.
- Áp dụng convexity dương cho trái phiếu callable trong vùng lãi suất thấp.
Exam Tip
CFA Level I (Fixed Income) yêu cầu tính approximate convexity và ước tính %ΔP bằng duration cộng convexity; CFA Level II và FRM Part I hỏi negative convexity của trái phiếu callable và chứng khoán đảm bảo bằng khoản vay thế chấp.