Annuity
Dòng tiền đều (niên kim)
Annuity (dòng tiền đều, niên kim) là một chuỗi các khoản tiền bằng nhau, phát sinh đều đặn sau mỗi kỳ trong một số kỳ hữu hạn. Ví dụ quen thuộc là khoản trả góp hằng tháng, tiền thuê nhà cố định hay khoản tiết kiệm định kỳ.
Explanation
Annuity giúp tính nhanh giá trị của một chuỗi dòng tiền đều mà không phải chiết khấu hay ghép lãi từng khoản. Thay vì cộng 60 phân số cho một khoản vay 5 năm trả hằng tháng, ta dùng một công thức duy nhất với ba yếu tố: số tiền mỗi kỳ (PMT), lãi suất mỗi kỳ và số kỳ.
Có hai loại chính. Ordinary annuity (niên kim thường) có khoản tiền phát sinh ở cuối mỗi kỳ, như trả góp ngân hàng hay coupon trái phiếu. Annuity due (niên kim đầu kỳ) có khoản tiền ở đầu mỗi kỳ, như tiền thuê nhà trả trước hay phí bảo hiểm đóng đầu năm. Vì mỗi khoản của annuity due sớm hơn một kỳ, giá trị của nó bằng ordinary annuity nhân thêm (1 + r).
Annuity khác perpetuity (dòng tiền vĩnh viễn) ở chỗ số kỳ có giới hạn. Annuity cũng khác dòng tiền không đều của một dự án: khi các khoản khác nhau, phải chiết khấu từng khoản. Trong thực tế, annuity là công cụ để tính lịch trả nợ (loan amortization schedule), số tiền cần tiết kiệm mỗi tháng để đạt mục tiêu, hoặc giá trị một hợp đồng thuê dài hạn.
Ở Việt Nam, khi vay mua nhà hay mua xe trả góp với lãi suất cố định, khoản trả đều hằng tháng (gốc cộng lãi) chính là PMT của một ordinary annuity. Nhiều ngân hàng lại tính theo dư nợ giảm dần với gốc trả đều, khi đó tổng khoản trả mỗi tháng không đều nên không còn là annuity.
Key Points
- Chuỗi khoản tiền bằng nhau, cách đều nhau, số kỳ hữu hạn.
- Ordinary annuity: cuối kỳ; annuity due: đầu kỳ, giá trị lớn hơn (1 + r) lần.
- Có công thức PV và FV riêng, không cần chiết khấu từng khoản.
- Dùng để tính khoản trả góp, tiết kiệm định kỳ, giá trị hợp đồng thuê.
- Perpetuity là annuity có số kỳ vô hạn.
Formula
PV = PMT × [1 - (1 + r)^-n] / r; FV = PMT × [(1 + r)^n - 1] / r
- PMT
- Số tiền bằng nhau mỗi kỳ (khoản trả góp, khoản tiết kiệm, tiền thuê).
- r
- Lãi suất mỗi kỳ; nếu trả hằng tháng thì lấy lãi suất năm chia 12.
- n
- Tổng số kỳ thanh toán.
- PV, FV
- Giá trị hiện tại (đầu kỳ 1) và giá trị tương lai (cuối kỳ n) của cả chuỗi.
Với annuity due, nhân kết quả PV hoặc FV với (1 + r).
Examples
Worked Example
Tiết kiệm đều mỗi năm cho kế hoạch mở cửa hàng
Anh Khoa (số liệu giả định) tiết kiệm 50 triệu đồng vào cuối mỗi năm trong 5 năm, lãi suất 7%/năm ghép lãi theo năm.
- 1,07^5 = 1,402552.
- Hệ số FV niên kim = (1,402552 - 1) / 0,07 = 5,7507.
- FV = 50 × 5,7507 = 287,54 triệu đồng.
- Nếu anh gửi vào đầu mỗi năm (annuity due): FV = 287,54 × 1,07 ≈ 307,67 triệu đồng.
- Giá trị hiện tại của chuỗi cuối kỳ: hệ số PV = (1 - 1,07^-5) / 0,07 = 4,1002, PV = 50 × 4,1002 = 205,01 triệu đồng.
Sau 5 năm anh Khoa có khoảng 287,54 triệu đồng, trong đó 250 triệu đồng là tiền gốc và 37,54 triệu đồng là lãi. Chỉ cần gửi đầu năm thay vì cuối năm, anh có thêm khoảng 20 triệu đồng.
Real-World Scenario
Giám đốc tài chính so sánh thuê và mua thiết bị
Một phòng khám nha khoa (giả định) được đề nghị thuê máy chụp X-quang 5 năm với tiền thuê cố định trả đầu mỗi năm, hoặc mua đứt một lần.
Giám đốc tài chính coi tiền thuê là annuity due, chiết khấu theo lãi suất vay của phòng khám để ra PV tổng tiền thuê, rồi so với giá mua (trừ giá trị thanh lý dự kiến). Phương án nào có PV chi ra thấp hơn thì rẻ hơn về mặt kinh tế.
Exam Practice
Câu hỏi kiểu CFA Level I: khoản trả góp mua xe
Vay 600 triệu đồng mua xe, lãi suất 9%/năm, trả đều hằng tháng vào cuối tháng trong 5 năm. Tính khoản trả mỗi tháng.
- r = 9% / 12 = 0,75%/tháng, n = 60 tháng.
- 1,0075^60 = 1,565681, nên 1,0075^-60 = 0,6387.
- PMT = 600 × 0,0075 / (1 - 0,6387) = 4,5 / 0,3613 = 12,455 triệu đồng.
- Tổng trả = 12,455 × 60 = 747,30 triệu đồng, tổng lãi = 747,30 - 600 = 147,30 triệu đồng.
Khoản trả khoảng 12,46 triệu đồng/tháng. Bẫy: dùng r = 9% với n = 60, hoặc dùng n = 5 với r tháng.
Common Mistakes
Common Mistake
Nhầm annuity due với ordinary annuity
Chị Ngọc định giá hợp đồng cho thuê mặt bằng 5 năm, tiền thuê 50 triệu đồng thu đầu mỗi năm, lãi suất 7%. Chị dùng công thức ordinary annuity và ra PV = 205,01 triệu đồng.
Tiền thuê thu đầu kỳ nên phải dùng annuity due: PV = 205,01 × 1,07 ≈ 219,36 triệu đồng. Định giá thấp hơn khoảng 14 triệu đồng chỉ vì đặt sai thời điểm dòng tiền. Luôn vẽ trục thời gian trước khi chọn công thức.
- Không phân biệt dòng tiền đầu kỳ và cuối kỳ, chọn sai giữa annuity due và ordinary annuity.
- Dùng lãi suất năm với số kỳ tháng khi tính khoản trả góp.
- Áp công thức annuity cho dòng tiền không đều hoặc khoản vay trả gốc đều dư nợ giảm dần.
- Quên rằng PV của annuity nằm ở đầu kỳ 1, tức một kỳ trước khoản thanh toán đầu tiên.
Exam Tip
CFA Level I (Quantitative Methods) hay kết hợp annuity với dòng tiền trì hoãn (deferred annuity) và chế độ BGN/END của máy tính; ACCA FM dùng bảng annuity factor để tính PV của dòng tiền đều trong thẩm định dự án.