Black-Scholes-Merton Model

Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes-Merton

Fixed Income & DerivativesAdvancedUpdated 09.11.2026

Black-Scholes-Merton model (mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes-Merton, BSM) là công thức tính giá lý thuyết của quyền chọn kiểu châu Âu từ năm yếu tố: giá tài sản cơ sở, giá thực hiện, thời gian đến đáo hạn, lãi suất phi rủi ro và volatility (độ biến động). Mô hình giả định giá tài sản biến động theo phân phối lognormal, volatility và lãi suất không đổi, thị trường không có chi phí giao dịch. Đây là nền tảng của định giá phái sinh hiện đại và của các chỉ số Greeks.

Explanation

Ý tưởng cốt lõi của BSM là có thể tạo một danh mục gồm quyền chọn và tài sản cơ sở được điều chỉnh liên tục để loại bỏ hoàn toàn rủi ro giá. Danh mục không rủi ro thì phải sinh lời bằng lãi suất phi rủi ro, từ đó suy ra giá quyền chọn mà không cần biết kỳ vọng lợi suất của nhà đầu tư. Vì vậy giá quyền chọn không phụ thuộc vào việc thị trường lạc quan hay bi quan, chỉ phụ thuộc vào mức biến động.

Công thức có thể đọc theo trực giác: giá call bằng giá trị hiện tại của tài sản nhận được khi thực hiện quyền trừ giá trị hiện tại của khoản tiền phải trả. N(d2) là xác suất quyền chọn được thực hiện trong thế giới trung lập rủi ro (risk-neutral), còn N(d1) chính là delta của call. Giá put có thể tính từ giá call bằng put-call parity.

Trong năm yếu tố, chỉ volatility không quan sát trực tiếp được. Người làm thị trường thường làm ngược lại: từ giá quyền chọn trên thị trường suy ra implied volatility (độ biến động hàm ý), rồi dùng nó để so sánh độ đắt rẻ giữa các quyền chọn. Hiện tượng volatility smile (nụ cười biến động), khi implied volatility khác nhau theo giá thực hiện, cho thấy giả định volatility không đổi của BSM không khớp hoàn toàn với thực tế.

BSM chỉ áp dụng trực tiếp cho quyền chọn kiểu châu Âu; với tài sản trả cổ tức dùng phiên bản điều chỉnh có lợi suất cổ tức, với quyền chọn kiểu Mỹ thường dùng mô hình binomial (cây nhị thức). Tại Việt Nam, logic BSM được dùng để định giá chứng quyền có bảo đảm và, với doanh nghiệp lập báo cáo theo IFRS, để định giá quyền mua cổ phiếu cho nhân viên theo IFRS 2.

Key Points

Năm đầu vào: S, K, T, r, σ; chỉ σ phải ước lượng.
Giá không phụ thuộc kỳ vọng lợi suất của nhà đầu tư nhờ lập luận phòng ngừa.
N(d1) là delta của call; N(d2) là xác suất thực hiện trong thế giới risk-neutral.
Implied volatility là volatility làm giá BSM bằng giá thị trường.
Chỉ dành cho quyền chọn kiểu châu Âu; kiểu Mỹ dùng binomial.

Formula

c = S × N(d1) - K × e^(-rT) × N(d2); d1 = [ln(S/K) + (r + σ^2/2) × T] / (σ × √T); d2 = d1 - σ × √T; p = c - S + K × e^(-rT)

S: Giá tài sản cơ sở hiện tại.
K: Giá thực hiện.
T: Thời gian đến đáo hạn tính theo năm (6 tháng = 0,5).
r: Lãi suất phi rủi ro năm, lãi kép liên tục, lấy theo lợi suất trái phiếu Chính phủ cùng kỳ hạn.
σ: Volatility năm của lợi suất tài sản, ước lượng từ dữ liệu lịch sử hoặc implied volatility.
N(x): Hàm phân phối chuẩn tích luỹ, tra bảng hoặc dùng hàm NORM.S.DIST trong Excel.

Với tài sản trả cổ tức liên tục theo lợi suất q, thay S bằng S × e^(-qT).

Examples

Worked Example

Định giá call và put at-the-money 6 tháng

Cổ phiếu Công ty CP Công nghệ Sao Việt (giả định) giá S = 50.000 đồng, không trả cổ tức. Quyền chọn kiểu châu Âu K = 50.000 đồng, T = 0,5 năm, r = 5%, σ = 30% (số liệu giả định).

σ × √T = 0,3 × 0,7071 ≈ 0,2121; ln(S/K) = ln(1) = 0.
d1 = [0 + (0,05 + 0,045) × 0,5] / 0,2121 = 0,0475 / 0,2121 ≈ 0,2239; d2 = 0,2239 - 0,2121 = 0,0118.
Tra bảng: N(d1) ≈ 0,5886; N(d2) ≈ 0,5047. K × e^(-0,025) = 50.000 × 0,97531 ≈ 48.765,50 đồng.
c = 50.000 × 0,5886 - 48.765,50 × 0,5047 = 29.430 - 24.611,95 ≈ 4.818,05 đồng.
p = 4.818,05 - 50.000 + 48.765,50 ≈ 3.583,55 đồng.

Giá lý thuyết của call khoảng 4.818 đồng và của put khoảng 3.584 đồng. Call đắt hơn put dù cùng at-the-money vì giá thực hiện được chiết khấu theo lãi suất.

Real-World Scenario

Định giá quyền mua cổ phiếu cho nhân viên

Chị Phương, kế toán trưởng một công ty công nghệ (giả định) lập báo cáo theo IFRS, cần ghi nhận chi phí cho chương trình quyền mua cổ phiếu cấp cho 50 kỹ sư, thực hiện sau 3 năm.

Chị dùng BSM với giá cổ phiếu ngày cấp, giá thực hiện, kỳ hạn 3 năm, lãi suất trái phiếu Chính phủ 3 năm và volatility ước lượng từ lịch sử giá. Chị nêu rõ trong thuyết minh rằng volatility là giả định trọng yếu và trình bày phân tích độ nhạy, vì sai 5 điểm phần trăm volatility có thể làm chi phí thay đổi đáng kể.

Common Mistakes

Common Mistake

Nhập thời gian theo tháng thay vì theo năm

Với ví dụ trên, một chuyên viên nhập T = 6 vì quyền chọn còn 6 tháng. Khi đó σ × √T = 0,3 × √6 ≈ 0,7348 thay vì 0,2121, và giá call tính ra cao gấp nhiều lần.

r và σ trong BSM là số liệu năm, nên T phải tính theo năm: 6 tháng là 0,5, 90 ngày là 90 / 365. Luôn kiểm tra đơn vị trước khi đưa vào công thức.

Nhập T theo tháng hoặc ngày trong khi r và σ tính theo năm.
Dùng BSM cho quyền chọn kiểu Mỹ trên cổ phiếu trả cổ tức mà không điều chỉnh.
Hiểu N(d2) là xác suất thực tế giá vượt K, trong khi đó là xác suất trong thế giới risk-neutral.
Quên điều chỉnh S khi tài sản trả cổ tức.

Exam Tip

CFA Level II (Derivatives) và FRM Part I (Valuation and Risk Models) yêu cầu hiểu các giả định của BSM, ý nghĩa N(d1), N(d2) và tác động của từng biến; ít khi bắt tính tay toàn bộ, nhưng hay cho sẵn N(d1), N(d2) để tính giá.

Related Concepts

All Terms